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Prospettiva del potenziale venditore

Immaginiamo che Adam Warlock possegga quote dell’obbligazione; egli s’affaccia sul mercato come potenziale venditore.

Adam detiene un portafoglio finanziario, di cui l’obbligazione fa parte, simulabile con un multimetro; egli spera che, in futuro, il portafoglio complementare al titolo incrementerà il controvalore con risposta esponenziale al tasso annuale ηadam; tale tasso atteso varrà sia che Adam venda l’obbligazione, sia che la detenga fino a scadenza.

All’istante tP il controvalore del portafoglio complementare sia Uadam(tP); sfruttando le proprietà della funzione esponenziale, rappresentiamo questa giacenza iniziale come risultato d’una movimentazione impulsiva all’istante tP: 

Uadam(tP) δ(t - tP)

Se Adam terrà l’obbligazione, la movimentazione del portafoglio risulterà: 

Mtiene(t) = Uadam(tP) δ(t - tP) + Σk=0→K  Ccedola,k δ(t - tk) + Crimborso δ(t - trimborso)

in cui Uadam(tP) > 0, Ccedola,k ≥ 0, Crimborso > 0 perché sono tutti versamenti nel multimetro; il controvalore del portafoglio complementare risulterà: 

Utiene(t) = Uadam(tP) u(t - tP) esp[λadam (t - tP)] +

+ Σk=0→K  Ccedola,k u(t - tk) esp[λadam (t - tk)] +

+ Crimborso u(t - trimborso) esp[λadam (t - trimborso)]

Se invece Adam venderà l’obbligazione, la movimentazione risulterà: 

Mvende(t) = [Uadam(tP) + P] δ(t - tP)

e il controvalore del portafoglio complementare: 

Uvende(t) = [Uadam(tP) + P] u(t - tP) esp[λadam (t - tP)]

La formulazione de Il Criterio è la soluzione della disequazione: 

∀t ≥ trimborso        Utiene(t) ⋛ Uvende(t)

che abbiamo visto poter ridurre a: 

Utiene(trimborso) ⋛ Uvende(trimborso)

quindi se risulta:

Osservato che sia Utiene(t) che Uvende(t) contengono l’addendo: 

G(t) = Uadam(tP) u(t - tP) esp[λadam (t - tP)]

definiamo i controvalori: 

Vtiene(t) = Utiene(t) - G(t)

Vvende(t) = Uvende(t) - G(t)

cioè: 

Vtiene(t) = Σk=0→K  Ccedola,k u(t - tk) esp[λadam (t - tk)] +

+ Crimborso u(t - trimborso) esp[λadam (t - trimborso)]

Vvende(t) = P u(t - tP) esp[λadam (t - tP)]

il fatto che possiamo eliminare questo addendo comune significa che i risultati che otterremo nel seguito saranno indipendenti dal controvalore iniziale del portafoglio. Allora possiamo riscrivere la disequazione de Il Criterio come: 

Vtiene(trimborso) ⋛ Vvende(trimborso)        ⇒        Utiene(trimborso) ⋛ Uvende(trimborso)

cioè, per applicare il criterio, è sufficiente calcolare i valori Vtiene(trimborso) e Vvende(trimborso); ovviamente risulta:

Il controvalore Vvende(trimborso) si calcola con: 

Vvende(trimborso) = P esp[λadam (trimborso - tP)]

nella precedente sezione della discussione sul prezzo dell’obbligazioni abbiamo definito il rendimento a scadenza (uguale rendimento effettivo, uguale Yield to Maturity) come il tasso di variazione ηytm = espm1(λytm), rispetto all’unità di tempo, che soddisfa l’equazione d’attualizzazione equivalente agl’effetti futuri per t ≥ trimborso: 

P = Σk  Ccedola,k esp[λytm (tP - tk)] + Crimborso esp[λytm (tP - trimborso)]

Possiamo ottenere un’equazione simile per il controvalore Vtiene(trimborso) scrivendo: 

Vtiene(trimborso) = A esp[λadam (trimborso - tP)]

in cui A è la somma di tutti gl’impulsi delle cedole e del rimborso attualizzati all’istante tP secondo il tasso λadam: 

A = Σk  Ccedola,k esp[λadam (tP - tk)] + Crimborso esp[λadam (tP - trimborso)]

Osservato che nell’equazioni di Vvende(trimborso) e Vtiene(trimborso) compare lo stesso esponenziale esp[λadam (trimborso - tP)]: comprendiamo come si possa riformulare la disequazione de Il Criterio come: 

A ⋛ P        ⇒        Vtiene(trimborso) ⋛ Vvende(trimborso)

cioè, per applicare il criterio, è sufficiente calcolare il valore A e conoscere il valore P; perciò se:

Confrontiamo l’equazioni: 

A = Σk  Ccedola,k esp[λadam (tP - tk)] + Crimborso esp[λadam (tP - trimborso)]

P = Σk  Ccedola,k esp[λytm (tP - tk)] + Crimborso esp[λytm (tP - trimborso)]

abbiamo già osservato la proporzionalità inversa tra la remunerazione (e il rendimento) e il valore attualizzato dei capitali, perciò possiamo riformulare la disequazione de Il Criterio come: 

ηadam ⋚ ηytm        ⇒        λadam ⋚ λytm        ⇒        A ⋛ P

perciò se:

Possiamo riassumere tutte le deduzioni che trasformano il criterio: 

ηadam ⋚ ηytm        ⇒        λadam ⋚ λytm        ⇒        A ⋛ P        ⇒

⇒        Vtiene(trimborso) ⋛ Vvende(trimborso)        ⇒

       ⇒        Utiene(trimborso) ⋛ Uvende(trimborso)        ⇒

       ⇒        ∀t ≥ trimborso        Utiene(t) ⋛ Uvende(t)

Esempio (sulla prospettiva del venditore) Adam possiede un portafoglio di titoli finanziari che include quote d’un’obbligazione ‘pincopalla’. All’istante tinizio = 0 il controvalore del portafoglio vale U(tinizio) = 1,23; Adam spera che, in futuro, indipendentemente dalla movimentazione, il portafoglio complementare al titolo abbia incremento esponenziale con remunerazione λadam = log1p(ηadam) che specificheremo nel seguito.

Il contratto dell’obbligazione ‘pincopalla’ prescrive il pagamento di cedole e un rimborso finale descritti dalla seguente tupla di valori al netto di tutto: 

{ (1; 0,04), (2; 0,04), (3; 0,04),
  (4; 0,04), (5; 0,04), (5; 1), }

il Tribunal ha stabilito che: le quote possano essere vendute al tempo tP = 0,4 al prezzo P = 1,05 (che include il rateo della prossima cedola).

All’istante tP, Adam si trova di fronte a due universi possibili:

  1. se terrà l’obbligazione, la movimentazione risulterà, ∀t ≥ tinizio: 
    Mtiene(t) = U(tinizio) δ(t - tinizio) +

    + Σk=1→5  Ck δ(t - tk) + Crimborso δ(t - trimborso)

    e il controvalore: 

    Utiene(t) = U(tinizio) u(t - tinizio) esp[λadam (t - tinizio)] +

    + Σk=1→5  Ck u(t - tk) esp[λadam (t - tk)] +

    + Crimborso δ(t - trimborso) esp[λadam (t - trimborso)]
  2. se venderà l’obbligazione, la movimentazione risulterà, ∀t ≥ tinizio: 
    Mvende(t) = U(tinizio) δ(t - tinizio) + P δ(t - tP)

    e il controvalore: 

    Uvende(t) = U(tinizio) u(t - tinizio) esp[λadam (t - tinizio)] +

    + P u(t - tP) esp[λadam (t - tP)]

Con il cambiamento di variabile τ = t - tP, possiamo scrivere l’equazione per il calcolo del rendimento a scadenza dell’obbligazione: 

P = Σk=1→5  Ck esp(-λytm τk) + Crimborso esp(-λytm τrimborso)

risolvendo numericamente risulta: 

λytm ≈ 0,0314024        ηytm = espm1(λytm) ≈ 3.19007%

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