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Prospettiva del potenziale acquirente

Immaginiamo che Barf non possegga quote dell’obbligazione; egli s’affaccia sul mercato come potenziale acquirente.

Barf detiene un portafoglio finanziario, di cui l’obbligazione non fa parte, simulabile con un multimetro; egli spera che, in futuro, il portafoglio complementare al titolo incrementerà il controvalore con risposta esponenziale al tasso annuale ηbarf; tale tasso atteso varrà sia che Barf acquisti l’obbligazione e la detenga fino a scadenza, sia che non partecipi all’investimento tenendosi il portafoglio cosí com’è.

All’istante tP il controvalore del portafoglio complementare sia Ubarf(tP); sfruttando le proprietà della funzione esponenziale, rappresentiamo questa giacenza iniziale come risultato d’una movimentazione impulsiva all’istante tP: 

Ubarf(tP) δ(t - tP)

Se Barf acquisterà l’obbligazione: all’istante tP liquiderà una parte del portafoglio esistente, ottenendo il capitale P, e immediatamente lo utilizzerà per comprare quote; la movimentazione del portafoglio risulterà: 

Mcompra(t) = [Ubarf(tP) - P] δ(t - tP) +

+ Σk=0→K  Ccedola,k δ(t - tk) + Crimborso δ(t - trimborso)

in cui Ubarf(tP) > 0, Ccedola,k ≥ 0, Crimborso > 0 perché sono tutti versamenti nel multimetro; -P < 0 perché è un prelievo dal multimetro; il controvalore del portafoglio complementare risulterà: 

Ucompra(t) = [Ubarf(tP) - P] u(t - tP) esp[λbarf (t - tP)] +

+ Σk=0→K  Ccedola,k u(t - tk) esp[λbarf (t - tk)] +

+ Crimborso u(t - trimborso) esp[λbarf (t - trimborso)]

Se invece Barf s’asterrà dall’acquistare l’obbligazione, la movimentazione risulterà: 

Mastiene(t) = Ubarf(tP) δ(t - tP)

e il controvalore del portafoglio: 

Uastiene(t) = Ubarf(tP) u(t - tP) esp[λbarf (t - tP)]

La formulazione de Il Criterio è la soluzione della disequazione: 

∀t ≥ trimborso        Ucompra(t) ⋛ Uastiene(t)

che abbiamo visto poter ridurre a: 

Ucompra(trimborso) ⋛ Uastiene(trimborso)

quindi se risulta:

Osservato che Uastiene(t) compare come addendo nell’espressione di Ucompra(t), definiamo i controvalori: 

Vcompra(t) = Ucompra(t) - Uastiene(t)

Vastiene(t) = 0

cioè: 

Vcompra(t) = - P u(t - tP) esp[λbarf (t - tP)] +

+ Σk=0→K  Ccedola,k u(t - tk) esp[λbarf (t - tk)] +

+ Crimborso u(t - trimborso) esp[λbarf (t - trimborso)]

il fatto che possiamo eliminare questo addendo significa che i risultati che otterremo nel seguito saranno indipendenti dal controvalore iniziale del portafoglio; osserviamo esplicitamente che l’esponenziale - P esp[λbarf (t - tP)], avendo ampiezza negativa, è una funzione monotòna decrescente. Allora possiamo riscrivere la disequazione de Il Criterio come: 

Vcompra(trimborso) ⋛ 0        ⇒        Ucompra(trimborso) ⋛ Uastiene(trimborso)

cioè, per applicare Il Criterio, è sufficiente calcolare il valore Vcompra(trimborso); ovviamente risulta:

Riscriviamo il controvalore Vcompra(trimborso) come: 

Vcompra(trimborso) = A esp[λbarf (trimborso - tP)]

in cui A è la somma di tutti gl’impulsi dell’acquisto, delle cedole e del rimborso attualizzati all’istante tP secondo il tasso λbarf: 

A = - P esp[λbarf (tP - tP)] +

+ Σk  Ccedola,k esp[λbarf (tP - tk)] + Crimborso esp[λbarf (tP - trimborso)] =

= - P + Σk  Ccedola,k esp[λbarf (tP - tk)] + Crimborso esp[λbarf (tP - trimborso)]

Comprendiamo come si possa riformulare la disequazione de Il Criterio come: 

A ⋛ 0        ⇒        Vcompra(trimborso) ⋛ 0

cioè, per applicare Il Criterio, è sufficiente calcolare il valore A e conoscere il valore P; quindi:

Nella precedente sezione della discussione sul prezzo dell’obbligazioni abbiamo definito il rendimento a scadenza (uguale rendimento effettivo, uguale Yield to Maturity) come il tasso di variazione ηytm = espm1(λytm), rispetto all’unità di tempo, che soddisfa l’equazione d’attualizzazione equivalente agl’effetti futuri per t ≥ trimborso: 

P = Σk  Ccedola,k esp[λytm (tP - tk)] + Crimborso esp[λytm (tP - trimborso)]

cioè λytm è il valore per cui risulta: 

0 = - P + Σk  Ccedola,k esp[λytm (tP - tk)] + Crimborso esp[λytm (tP - trimborso)]

e questa è l’espressione di A quando λbarf = λytm. Abbiamo già osservato la proporzionalità inversa tra la remunerazione (e il rendimento) e il valore attualizzato dei capitali; perciò analizziamo l’espressione di A come funzione di λbarf: 

A(λbarf) = - P + Σk  Ccedola,k esp[λbarf (tP - tk)] + Crimborso esp[λbarf (tP - trimborso)]

comprendiamo che è possibile riformulare la disequazione de Il Criterio come: 

ηbarf ⋛ ηytm        ⇒       
λbarf ⋛ λytm         ⇒        A ⋚ 0

cioè, per applicare Il Criterio, è sufficiente conoscere il valore ηbarf e calcolare il valore ηytm; perciò se:

Possiamo riassumere tutte le deduzioni che trasformano il criterio: 

ηbarf ⋚ ηytm        ⇒        λbarf ⋚ λytm        ⇒        A ⋛ 0        ⇒

⇒        Vcompra(trimborso) ⋛ Vastiene(trimborso) = 0        ⇒

       ⇒        Ucompra(trimborso) ⋛ Uastiene(trimborso)        ⇒

       ⇒        ∀t ≥ trimborso        Ucompra(t) ⋛ Uastiene(t)

Esempio (sulla prospettiva dell’acquirente) Barf possiede un portafoglio di titoli finanziari che non include quote d’un’obbligazione ‘pincopalla’. All’istante tinizio = 0 il controvalore del portafoglio vale U(tinizio) = 1,23; Barf spera che, in futuro, indipendentemente dalla movimentazione, il portafoglio complementare al titolo abbia incremento esponenziale con remunerazione λbarf = log1p(ηbarf) che specificheremo nel seguito.

Il contratto dell’obbligazione ‘pincopalla’ prescrive il pagamento di cedole e un rimborso finale descritti dalla seguente tupla di valori al netto di tutto: 

{ (1; 0,04), (2; 0,04), (3; 0,04),
  (4; 0,04), (5; 0,04), (5; 1), }

il Tribunal ha stabilito che: le quote possano essere vendute al tempo tP = 0,4 al prezzo P = 1,05 (che include il rateo della prossima cedola).

All’istante tP, Barf si trova di fronte a due universi possibili:

  1. se acquisterà l’obbligazione, la movimentazione risulterà, ∀t ≥ tinizio: 
    Mcompra(t) = U(tinizio) δ(t - tinizio) - P δ(t - tP) +

    + Σk=1→5  Ck δ(t - tk) + Crimborso δ(t - trimborso)

    e il controvalore: 

    Ucompra(t) = U(tinizio) u(t - tinizio) esp[λbarf (t - tinizio)] +

    - P u(t - tP) esp[λbarf (t - tP)] +

    + Σk=1→5  Ck u(t - tk) esp[λbarf (t - tk)] +

    + Crimborso δ(t - trimborso) esp[λbarf (t - trimborso)]
  2. se s’asterrà dall’acquistare l’obbligazione e terrà il portafoglio cosí com’è, la movimentazione risulterà, ∀t ≥ tinizio: 
    Mastiene(t) = U(tinizio) δ(t - tinizio)

    e il controvalore: 

    Uastiene(t) = U(tinizio) u(t - tinizio) esp[λbarf (t - tinizio)]

Con il cambiamento di variabile τ = t - tP, possiamo scrivere l’equazione per il calcolo del rendimento a scadenza dell’obbligazione: 

P = Σk=1→5  Ck esp(-λytm τk) + Crimborso esp(-λytm τrimborso)

risolvendo numericamente risulta: 

λytm ≈ 0,0314024        ηytm = espm1(λytm) ≈ 3.19007%

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