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Scelta secondo Il Criterio, estensione all’uso del multimetro

Formulazione del criterio

Nell’economia reale, per ogni investitore: la scelta tra possedere e non possedere quote d’un’obbligazione è il risultato dell’applicazione di vari criteri di convenienza. In questa sezione ne consideriamo solo uno, che denominiamo Il Criterio:

nel futuro, ∀t ≥ trimborso, quale scelta tra detenere e non detenere permetterà all’investitore d’ottenere un portafoglio finanziario con controvalore maggiore?

Scegliere di detenere dia luogo al controvalore Udetenere(t, ξ0, ξ1, ...), mentre scegliere di non detenere dia luogo al controvalore Unon detenere(t, ξ0, ξ1, ...), in cui ξ0, ξ1, ... (lettera greca xi) sono parametri come: il capitale investito, l’ammontare delle cedole, eccetera; allora per applicare Il Criterio occorre risolvere la disequazione: 

∀t ≥ trimborso        Udetenere(t, ξ0,  ξ1, ...) ⋛ Unon detenere(t, ξ0,  ξ1, ...)

determinando per quali valori dei parametri ξ0, ξ1, ... tale disequazione diventi del tipo “maggiore di”, “minore di” oppure “uguale a”.

Estensione all’uso del multimetro

Finora abbiamo trattato il multimetro finanziario come modello matematico d’un particolare deposito remunerato di denaro; ora vogliamo estenderne l’uso alla simulazione di portafogli di titoli finanziari con composizione variabile. Ragionamento:

  1. quando s’analizza un titolo finanziario calcolandone le figure di merito attraverso l’uso del multimetro: l’insieme multimetro piú titolo costituisce un portafoglio finanziario; infatti: ogni deposito di denaro è, in sé, un titolo finanziario;
  2. non v’è problema nel considerare “portafoglio” ogni singolo titolo; cosí come un insieme è costituito dall’unione dei suoi sotto-insiemi disgiunti: un portafoglio costituito da piú titoli è l’unione dell’insieme dei suoi sotto–portafogli disgiunti, ciascuno costituito da un titolo;
  3. in un certo senso, utile per noi: il portafoglio titolo–unione–multimetro è costituito dal titolo e dal complementare del titolo nel portafoglio; cioè il multimetro è il sotto–portafoglio complementare al titolo, all’interno del portafoglio totale.

Quando analizziamo il possesso d’un titolo finanziario t che viene acquistato in un istante e venduto o rimborsato in un istante successivo:

  1. s’inizia, prima dell’acquisto, con l’avere un portafoglio m senza il titolo;
  2. si passa all’avere il portafoglio m a cui s’è aggiunto il titolo t, costituendo il portafoglio totale m ∪ t; in questa fase il sotto–portafoglio m è il complementare del sotto–portafoglio t all’interno del portafoglio totale m ∪ t;
  3. si finisce, dopo la vendita o il rimborso, con l’avere il portafoglio m senza il titolo;

noi vogliamo rappresentare il portafoglio m con un multimetro finanziario. Nel seguito di questa sezione: useremo il simbolo U(t) per rappresentare il controvalore del portafoglio complementare m che non include il controvalore del titolo oggetto d’analisi. (Forse, in un uno dei futuri possibili, scriverò una sezione con la descrizione del controvalore del titolo stesso; ma non qui.)

Osservazione In certo senso, piú o meno sporco: con questo modello di ragionamento il multimetro diventa “un operatore” da applicare a un titolo per eseguirne l’analisi finanziaria; il fatto che la risposta all’impulso del multimetro sia una funzione esponenziale è considerabile come un parametro dell’operatore, che potrebbe rispondere con altri enti matematici; ciò come generalizzazione del poter configurare soltanto la remunerazione della risposta esponenziale stessa.

Per fare ciò che vogliamo, dobbiamo valutare l’ipotesi che: quale che sia la composizione del portafoglio complementare, la sua remunerazione resti costante al valore λ con cui abbiamo configurato il dispositivo. Ciò non è solitamente vero nella realtà: aggiungere e rimuovere quote di titoli a un portafoglio, normalmente, ne cambia la remunerazione futura, anche solo in valor medio; quest’approssimazione può risultare piú o meno credibile.

Eseguiremo i calcoli nell’ipotesi che ogni investitore gestisca un portafoglio finanziario con una propria remunerazione λinvestitore; cioè ciascun investitore s’aspetta d’ottenere una remunerazione λinvestitore diversa, a seconda delle proprie scelte riguardo la composizione del portafoglio.

Se applichiamo quest’ipotesi alla formulazione de Il Criterio: per le proprietà della funzione esponenziale, sappiamo che risulta ∀t ≥ trimborso: 

Udetenere(t) = Udetenere(trimborso) esp[λinvestitore (t - trimborso)]

Unon detenere(t) = Unon detenere(trimborso) esp[λinvestitore (t - trimborso)]

perciò: per controvalori esponenziali con la stessa remunerazione, la disequazione da analizzare si semplifica in, ∀t ≥ trimborso: 

Udetenere(trimborso) ⋛ Unon detenere(trimborso)        ⇒        Udetenere(t) ⋛ Unon detenere(t)

cioè, per applicare il criterio, è sufficiente calcolare i valori Udetenere(trimborso) e Unon detenere(trimborso).

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