Attualizzazione equivalente agl’effetti futuri ¶
Consideriamo un multimetro regolato a un certo valore di remunerazione λ; con un solo versamento all’istante t0, movimentazione e controvalore si scrivono:
M(t) = C0 δ(t - t0) U(t) = C0 u(t - t0) esp[λ (t - t0)]
all’istante t1 > t0 il controvalore vale:
U(t1) = C0 u(t1 - t0) esp[λ (t1 - t0)] = C0 esp[λ (t1 - t0)]
Lasciando invariato il valore della remunerazione, consideriamo movimentazione e controvalore:
N(t) = U(t1) δ(t - t1) V(t) = U(t1) u(t - t1) esp[λ (t - t1)]
sostituendo il valore di U(t1) e semplificando:
V(t) = C0 esp[λ (t1 - t0)] u(t - t1) esp[λ (t - t1)]
⇒ V(t) = C0 u(t - t1) esp[λ (t1 - t0 + t - t1)]
⇒ V(t) = C0 u(t - t1) esp[λ (t - t0)]
per ogni istante di tempo t ≥ t1 i gradini di Heaviside sono pari a uno e la differenza tra i due controvalori vale:
V(t) - U(t) = C0 esp[λ (t - t0)] - C0 esp[λ (t - t0)] = 0
Ciò significa che: per t ≥ t1 un impulso in ingresso d’entità C0 all’istante t0 è equivalente a un impulso in ingresso d’entità C0 esp[λ (t1 - t0)] all’istante t1; quindi:
nel modello matematico d’una movimentazione: se c’interessano solo i valori del controvalore per t ≥ tlimite, possiamo traslare nel tempo, a piacere, l’istante d’un impulso da toriginale ≤ tlimite a ttraslato ≤ tlimite, purché riproporzioniamo la sua entità con il coefficiente esp[λ (ttraslato - toriginale)];
denominiamo quest’operazione di traslazione e riproporzionamento degl’impulsi attualizzazione equivalente agl’effetti futuri.
Notiamo la simmetria: cosí come V(t) è equivalente a U(t), viceversa U(t) è equivalente a V(t); cioè è possibile attualizzare gl’impulsi in ingresso sia verso il futuro che verso il passato.
Osserviamo che, essendo il multimetro un sistema lineare per cui vale la sovrapposizione delle cause e degli effetti: quando la movimentazione è una combinazione lineare d’impulsi, possiamo attualizzare tutti gl’impulsi all’istante che desideriamo, ottenendo un controvalore equivalente nel futuro. Definito l’indice k variabile tra 0 e un limite superiore K, sia la movimentazione:
M(t) = Σk Ck δ(t - tk)
il controvalore risulta:
U(t) = Σk Ck u(t - tk) esp[λ (t - tk)]
attualizziamo tutti gl’impulsi all’istante tattual, risulta:
N(t) = δ(t - tattual) Σk Ck esp[λ (tattual - tk)]
il controvalore corrispondente risulta:
V(t) = u(t - tattual) esp[λ (t - tattual)] Σk Ck esp[λ (tattual - tk)]
e per ogni t ≥ max(tK, tattual) risulta V(t) = U(t).
Esempio (attualizzazione) Configurato un multimetro con remunerazione λ = log1p(5%), stabiliamo la seguente tupla d’ingressi:
{ (t0; C0), (t1; C1), (t2; C2), (t3; C3), (t4; C4) }con valori:
{ (0; 1), (1; 0,3), (2; 0,4), (3; -0,5), (4; 0,7) }definito l’indice k tra 0 e 4, la corrispondente movimentazione si scrive:
M(t) = Σk Ck δ(t - tk)attualizziamo tutti gl’impulsi all’istante tattual = t0 = 0, in modo che risulti un solo impulso:
N(t) = δ(t - tattual) C' = δ(t - tattual) Σk Ck esp[λ (tattual - tk)]e il capitale attualizzato risulta:
C' = Σk Ck esp[λ (tattual - tk)] ≈ 1,7924990101860847Il controvalore attualizzato risultante è uguale a quello proprio per t ≥ t4.
Anche senza discussione: possiamo capire la seguente figura.
