Inflazione, drenaggio di valore causa inflazione, potere d’acquisto d’un capitale ¶
L’inflazione è il fenomeno economico dell’aumento dei prezzi; cerchiamo di comprenderne la descrizione con un esempio.
Esempio (della mamma e delle pere) È normale che il prezzo delle pere aumenti nel tempo; se diminuisse sarebbe una sorpresa; può succedere, ma raramente. Mettiamoci nei panni della mamma.
- Oggi All’istante t0 = 0 la mamma va al mercato con C0 = 10,00 eur per comprare delle pere; ogni pera costa 0,79 eur; quante pere può comprare la mamma? La risposta è:
(numero pere oggi) = (soldi oggi) ÷ (prezzo oggi) == 10 ÷ 0,79 ≈ 12,658227848101266- Tra un anno All’istante t1 = 1 la mamma andrà al mercato con C1 = 10,00 eur per comprare delle pere; nel frattempo il prezzo delle pere sarà aumentato del 2%, quindi ogni pera costerà:
(prezzo tra un anno) = (prezzo oggi) × (coefficiente incremento prezzo) == 0,79 × (1 + 2 ÷ 100) = 0,8058denominiamo la quantità Ppere = 1 + 2 ÷ 100 indice del prezzo delle pere valutato nell’istante “tra un anno” a partire dall’istante “oggi”; quindi possiamo scrivere:
(prezzo tra un anno) = (prezzo oggi) × (indice prezzo pere)Quante pere potrà comprare la mamma? La risposta è:
(numero pere tra un anno) = (soldi tra un anno) ÷ (prezzo tra un anno) == (soldi tra un anno) ÷ [ (prezzo oggi) × (indice prezzo pere)]= 10 ÷ 0,8058 = 10 ÷ [0,79 × (1 + 2 ÷ 100)] ≈ 12,410027302060064e risulta:
(numero pere tra un anno) < (numero pere oggi)Osserviamo che possiamo riformulare l’espressione per il calcolo del numero di pere acquistabili tra un anno come segue:
(numero pere tra un anno) == (soldi tra un anno) ÷ [ (prezzo oggi) × (indice prezzo pere)] == [(soldi tra un anno) ÷ (indice prezzo pere)] ÷ (prezzo oggi)= 10 ÷ [0,79 × (1 + 2 ÷ 100)] = [10 ÷ (1 + 2 ÷ 100)] ÷ 0,79poniamo ηpere = 2%, tasso annuale di variazione del prezzo delle pere nel periodo tra t0 = 0 e t1 = 1 di durata t1 - t0 = 1; possiamo scrivere:
1 + 2 ÷ 100 = 1 + ηpere = esp[log(1 + ηpere)] = esp[log1p(ηpere)] == esp(λpere) = esp[λpere (t1 - t0)]allora la quantità:
10 ÷ (1 + 2 ÷ 100) = C1 ÷ (1 + ηpere) = C1 ÷ esp[λpere (t1 - t0)]= C1 × esp[- λpere (t1 - t0)] = C1 esp[λpere (t0 - t1)]si può interpretare come: il capitale C1 all’istante t1, attualizzato all’istante t0 = 0 secondo il tasso d’aumento dei prezzi delle pere ηpere.
Proviamo a considerare il fenomeno dell’inflazione nel seguente modo, ne analizzeremo criticamente le conseguenze nella nostra vita futura: supponiamo d’entrare oggi nell’attività economica del vendere prodotti; il prezzo di tali prodotti aumenterà nel tempo futuro a causa delle dinamiche economiche che causano inflazione; in un certo senso: la possibilità di vendere a prezzi crescenti nel futuro è una forma di remunerazione per noi.
Di conseguenza, nell’analisi di vari scenari economici: potremo ipotizzare l’esistenza di vari indici dei prezzi, associati a selezioni di prodotti detti panieri, con forma matematica:
P(t) = esp[λinflazione (t - t0)]
rappresentante l’aumento dei prezzi del paniere a partire dall’istante t0; il coefficiente λinflazione = log1p(ηinflazione), con ηinflazione positivo, negativo o uguale a zero, è una componente della remunerazione di chi vende i prodotti del paniere. Nell’esempio della mamma l’indice dei prezzi delle pere risulta:
Ppere(t) = esp[λinflazione pere (t - t0)]
con λinflazione pere = log1p(ηinflazione pere) = log1p(2%).
Riassumiamo per definire le figure di merito che c’interessano. All’istante t0 impieghiamo un capitale C0 in un’attività economica il cui controvalore possa essere modellizzato da un multimetro di remunerazione λimpiego = log1p(ηimpiego); la movimentazione risulta:
M(t) = C0 δ(t - t0)
ne consegue il controvalore:
U(t) = C0 u(t - t0) esp[λimpiego (t - t0)]
supponiamo che per t ≥ t0 abbia senso considerare un indice dei prezzi (di ciò che acquistiamo per condurre l’attività) modellizzato da una funzione esponenziale con remunerazione λinflazione = log1p(ηinflazione):
P(t) = esp[λinflazione (t - t0)]
questa inflazione è una componente di remunerazione per chi ci vende prodotti.
Definiamo potere d’acquisto Q(t) del controvalore U(t) il controvalore stesso al generico istante t attualizzato all’istante t0 con il tasso d’inflazione tra t0 e t:
Q(t) = U(t) ÷ P(t) =
= U(t) ÷ esp[λinflazione(t - t0)] = U(t) × esp[- λinflazione(t - t0)] =
= U(t) esp[λinflazione(t0 - t)]
che è effettivamente un’espressione d’attualizzazione verso l’istante t0 di ciò che accade all’istante t. Semplificando:
Q(t) = C0 u(t - t0) esp[(λimpiego - λinflazione) (t - t0)] = C0 u(t - t0) esp[λpotere (t - t0)]
da cui:
λpotere = λimpiego - λinflazione = log1p(ηimpiego) - log1p(ηinflazione)
Supponiamo di conoscere:
- controvalore futuro d’un capitale;
- prezzi d’oggi d’alcuni prodotti;
- tasso d’inflazione dei prodotti stessi;
se vogliamo calcolare quanti prodotti potremo acquistare in futuro, abbiamo due procedure equivalenti a disposizione:
- calcolare i prezzi futuri applicando il tasso d’inflazione ai prezzi d’oggi; poi calcolare il numero di prodotti dividendo il controvalore futuro per il prezzo futuro;
- calcolare il potere d’acquisto, attualizzando a oggi il controvalore futuro al tasso d’inflazione; poi calcolare il numero di prodotti dividendo il potere d’acquisto per il prezzo d’oggi.
Osservazione Consultando Wikipedia scopriamo che lo sviluppo in serie di log1p(η) approssimato con il primo addendo, per valori di η prossimi allo zero, risulta:
log1p(η) ≈ ηe quindi, approssimativamente:
λpotere ≈ ηimpiego - ηinflazioneper valori di ηimpiego e ηinflazione prossimi allo zero. Esempio:
log1p(0,03) - log1p (0,02) ≈ 0,00975617 0,03 - 0,02 = 0,01non è un granché come approssimazione…
Esempio (deposito inerte) Immaginiamo di depositare un capitale di 10,00 eur in un deposito inerte; assumiamo che, per calcolare il suo potere d’acquisto, abbia senso considerare un indice dei prezzi con tasso annuale del 2%; è la situazione della mamma e delle pere. Il calcolo del potere d’acquisto è nel seguente grafico.
Esempio (investimento) Investiamo 10,00 eur in un deposito remunerato con tasso annuale ηinvesto = 3%; assumiamo ancora che, per calcolare il suo potere d’acquisto, abbia senso considerare un indice dei prezzi con tasso annuale del 2%. Il calcolo del potere d’acquisto è nel seguente grafico.
